Elke strategietip voor 3D-boter-kaas-en-eieren komt uiteindelijk neer op één vraag: hoeveel winnende lijnen zijn er, en welke vakjes liggen op de meeste daarvan? Dit artikel telt het na voor elke bordgrootte van 3×3×3 tot 10×10×10 en legt uit wat de getallen voor je spel betekenen.
De formule
Op een n×n×n-kubus is een winnende lijn een rechte rij van n vakjes. Het aantal zulke lijnen is
((n + 2)³ − n³) / 2
Er is een mooie manier om te zien waarom. Omring de kubus aan alle kanten met een extra laag vakjes, zodat je een (n+2)×(n+2)×(n+2)-kubus krijgt. Elke winnende lijn, aan beide uiteinden één stap verlengd, verlaat de oorspronkelijke kubus via precies twee van de nieuwe randvakjes. Omgekeerd is elk randvakje het begin van precies één zo'n verlengde lijn. De lijnen verdelen de (n+2)³ − n³ randvakjes dus in paren, twee per lijn.
De getallen per bord
| Bord | Vakjes | Winnende lijnen | Max. lijnen door één vakje | Gemiddeld per vakje |
|---|---|---|---|---|
| 3×3×3 | 27 | 49 | 13 | 5,4 |
| 4×4×4 | 64 | 76 | 7 | 4,8 |
| 5×5×5 | 125 | 109 | 13 | 4,4 |
| 6×6×6 | 216 | 148 | 7 | 4,1 |
| 7×7×7 | 343 | 193 | 13 | 3,9 |
| 8×8×8 | 512 | 244 | 7 | 3,8 |
| 9×9×9 | 729 | 301 | 13 | 3,7 |
| 10×10×10 | 1000 | 364 | 7 | 3,6 |
Twee patronen vallen op. Ten eerste groeit het aantal lijnen ongeveer met het kwadraat van n, terwijl het aantal vakjes met de derde macht groeit: grote borden hebben veel meer lijnen, maar elk vakje telt minder. Ten tweede gedragen oneven en even borden zich anders — dat is de meest praktische les van dit artikel.
Oneven borden hebben een koningsvakje
Op 3×3×3, 5×5×5, 7×7×7 en 9×9×9 is er één middelste vakje. Het ligt op 13 lijnen: één in elk van de 13 mogelijke richtingen in een kubus (3 recht, 6 vlakdiagonalen, 4 ruimtediagonalen). Geen ander vakje komt in de buurt. Op oneven borden is het vroeg pakken van het midden bijna altijd goed; heeft je tegenstander het, bereid je dan voor op verdedigen.
Even borden verdelen de macht
Op even borden is er geen midden. Neem 4×4×4: van de 64 vakjes liggen er precies 16 op 7 lijnen en de andere 48 op maar 4. De 16 sterke vakjes zijn de 8 hoeken en de 8 vakjes van het kleine 2×2×2-kubusje in het midden. Ze liggen allemaal op ruimtediagonalen, vandaar de extra lijnen. Daarom draait de opening op 4×4×4 om hoeken en de binnenkubus, en daarom worden partijen zo vaak op de vier grote diagonalen beslist.
Wat je ermee doet
- Kies vroeg in de partij vakjes op veel lijnen. Op oneven borden is dat het midden; op even borden de hoeken en de binnenkubus.
- Denk op grote borden lokaal. Met gemiddeld 3–4 lijnen per vakje doet één stuk alleen weinig. Dreigingen ontstaan uit groepjes stukken met gedeelde lijnen.
- Tel ook de lijnen van je tegenstander. Een sterk vakje voor jou is meestal ook sterk voor hem. Soms is de beste zet gewoon het vakje innemen dat hij nodig heeft.
Probeer het zelf op XO3D : kies 4×4×4, speel de eerste zetten alleen op de 16 sterke vakjes en vergelijk dat met een partij waarin je ze negeert. Meer hierover in de strategiegids en de puzzels ‘winst in twee zetten’ .