Будь-яка порада зі стратегії в 3D-хрестиках-нуликах зрештою зводиться до питання: скільки всього виграшних ліній і які клітинки лежать на більшості з них? У цій статті ми порахуємо це для всіх дошок від 3×3×3 до 10×10×10 і розберемо, що ці числа означають для гри.
Формула
У кубі n×n×n виграшна лінія — це n клітинок поспіль по прямій. Кількість таких ліній дорівнює
((n + 2)³ − n³) / 2
Чому так, видно з простого міркування. Обкладіть куб ще одним шаром клітинок з усіх боків — вийде куб (n+2)×(n+2)×(n+2). Будь-яка виграшна лінія, продовжена на крок в обидва боки, виходить із початкового куба рівно через дві нові граничні клітинки. І навпаки, кожна гранична клітинка — початок рівно однієї такої продовженої лінії. Отже, лінії розбивають (n+2)³ − n³ граничних клітинок на пари, по дві на лінію.
Числа для кожної дошки
| Дошка | Клітинок | Виграшних ліній | Максимум ліній через клітинку | У середньому на клітинку |
|---|---|---|---|---|
| 3×3×3 | 27 | 49 | 13 | 5,4 |
| 4×4×4 | 64 | 76 | 7 | 4,8 |
| 5×5×5 | 125 | 109 | 13 | 4,4 |
| 6×6×6 | 216 | 148 | 7 | 4,1 |
| 7×7×7 | 343 | 193 | 13 | 3,9 |
| 8×8×8 | 512 | 244 | 7 | 3,8 |
| 9×9×9 | 729 | 301 | 13 | 3,7 |
| 10×10×10 | 1000 | 364 | 7 | 3,6 |
Впадають в око дві закономірності. По-перше, кількість ліній зростає приблизно як квадрат n, а кількість клітинок — як куб. На великих дошках ліній набагато більше, але кожна окрема клітинка важить менше. По-друге, парні й непарні дошки поводяться по-різному, і це найпрактичніший висновок статті.
На непарних дошках є «королівська» клітинка
На дошках 3×3×3, 5×5×5, 7×7×7 і 9×9×9 є єдиний центр. Через нього проходять 13 ліній — по одній у кожному з 13 можливих напрямків у кубі (3 прямі, 6 діагоналей граней, 4 просторові діагоналі). Жодна інша клітинка з ним не зрівняється. На непарних дошках зайняти центр на початку партії майже завжди правильно, а якщо його зайняв суперник, готуйтеся оборонятися.
На парних дошках сила розподілена
На парних дошках центру немає. Візьмімо 4×4×4: із 64 клітинок рівно 16 лежать на 7 лініях, а решта 48 — лише на 4. Ці 16 сильних клітинок — 8 кутів і 8 клітинок маленького куба 2×2×2 посередині. Усі вони лежать на просторових діагоналях, звідси й зайві лінії. Тому дебют на 4×4×4 крутиться довкола кутів і внутрішнього куба, а чотири великі діагоналі так часто вирішують результат партії.
Як це використати
- На початку партії обирайте клітинки на багатьох лініях. На непарних дошках це центр, на парних — кути й внутрішній куб.
- На великих дошках думайте локально. Коли на клітинку в середньому припадає 3–4 лінії, одна фігура сама по собі мало що дає. Загрози створюють групи фігур зі спільними лініями.
- Рахуйте й лінії суперника. Сильна для вас клітинка зазвичай сильна і для нього. Іноді найкращий хід — просто зайняти клітинку, потрібну супернику.
Перевірте самі на XO3D : оберіть 4×4×4 і перші кілька ходів робіть лише на 16 сильних клітинках, а потім порівняйте з партією, де ви їх ігноруєте. Докладніше про те, як використовувати ці клітинки, — у гайді зі стратегії та в задачах «виграш за два ходи» .