Любой совет по стратегии в 3D-крестиках-ноликах в итоге сводится к вопросу: сколько всего выигрышных линий и какие клетки лежат на большинстве из них? В этой статье мы посчитаем это для всех досок от 3×3×3 до 10×10×10 и разберём, что эти числа значат для игры.
Формула
В кубе n×n×n выигрышная линия — это n клеток подряд по прямой. Число таких линий равно
((n + 2)³ − n³) / 2
Почему так, видно из простого рассуждения. Обложите куб ещё одним слоем клеток со всех сторон — получится куб (n+2)×(n+2)×(n+2). Любая выигрышная линия, продолженная на шаг в обе стороны, выходит из исходного куба ровно через две новые граничные клетки. И наоборот, каждая граничная клетка — начало ровно одной такой продолженной линии. Значит, линии разбивают (n+2)³ − n³ граничных клеток на пары, по две на линию.
Числа для каждой доски
| Доска | Клеток | Выигрышных линий | Максимум линий через клетку | В среднем на клетку |
|---|---|---|---|---|
| 3×3×3 | 27 | 49 | 13 | 5,4 |
| 4×4×4 | 64 | 76 | 7 | 4,8 |
| 5×5×5 | 125 | 109 | 13 | 4,4 |
| 6×6×6 | 216 | 148 | 7 | 4,1 |
| 7×7×7 | 343 | 193 | 13 | 3,9 |
| 8×8×8 | 512 | 244 | 7 | 3,8 |
| 9×9×9 | 729 | 301 | 13 | 3,7 |
| 10×10×10 | 1000 | 364 | 7 | 3,6 |
Бросаются в глаза две закономерности. Во-первых, число линий растёт примерно как квадрат n, а число клеток — как куб. На больших досках линий намного больше, но каждая отдельная клетка значит меньше. Во-вторых, чётные и нечётные доски ведут себя по-разному, и это самый практичный вывод статьи.
На нечётных досках есть «королевская» клетка
На досках 3×3×3, 5×5×5, 7×7×7 и 9×9×9 есть единственный центр. Через него проходят 13 линий — по одной в каждом из 13 возможных направлений в кубе (3 прямых, 6 диагоналей граней, 4 пространственные диагонали). Ни одна другая клетка с ним не сравнится. На нечётных досках занять центр в начале партии почти всегда правильно, а если его занял соперник, готовьтесь обороняться.
На чётных досках сила распределена
На чётных досках центра нет. Возьмём 4×4×4: из 64 клеток ровно 16 лежат на 7 линиях, а остальные 48 — только на 4. Эти 16 сильных клеток — 8 углов и 8 клеток маленького куба 2×2×2 в середине. Все они лежат на пространственных диагоналях, отсюда и лишние линии. Поэтому дебют на 4×4×4 крутится вокруг углов и внутреннего куба, а четыре большие диагонали так часто решают исход партии.
Как это использовать
- В начале партии выбирайте клетки на многих линиях. На нечётных досках это центр, на чётных — углы и внутренний куб.
- На больших досках думайте локально. Когда на клетку в среднем приходится 3–4 линии, одна фигура сама по себе мало что даёт. Угрозы создают группы фигур с общими линиями.
- Считайте и линии соперника. Сильная для вас клетка обычно сильна и для него. Иногда лучший ход — просто занять клетку, которая нужна сопернику.
Проверьте сами на XO3D : выберите 4×4×4 и первые несколько ходов делайте только на 16 сильных клетках, а потом сравните с партией, где вы их игнорируете. Подробнее о том, как использовать эти клетки, — в гайде по стратегии и в задачах «выигрыш в два хода» .