Tout conseil de stratégie au morpion 3D revient finalement à une question : combien y a-t-il de lignes gagnantes, et quelles cases se trouvent sur le plus grand nombre d'entre elles ? Cet article fait le calcul pour toutes les tailles, de 3×3×3 à 10×10×10, et explique ce que les chiffres signifient pour votre jeu.
La formule
Sur un cube n×n×n, une ligne gagnante est formée de n cases alignées. Le nombre de ces lignes est
((n + 2)³ − n³) / 2
Un joli raisonnement l'explique. Entourez le cube d'une couche supplémentaire de cases de tous les côtés, pour obtenir un cube (n+2)×(n+2)×(n+2). Chaque ligne gagnante, prolongée d'un pas à chaque extrémité, sort du cube d'origine par exactement deux des nouvelles cases de bordure. Inversement, chaque case de bordure est le départ d'exactement une telle ligne prolongée. Les lignes regroupent donc les (n+2)³ − n³ cases de bordure par paires, deux par ligne.
Les chiffres pour chaque plateau
| Plateau | Cases | Lignes gagnantes | Max. de lignes par case | Moyenne par case |
|---|---|---|---|---|
| 3×3×3 | 27 | 49 | 13 | 5,4 |
| 4×4×4 | 64 | 76 | 7 | 4,8 |
| 5×5×5 | 125 | 109 | 13 | 4,4 |
| 6×6×6 | 216 | 148 | 7 | 4,1 |
| 7×7×7 | 343 | 193 | 13 | 3,9 |
| 8×8×8 | 512 | 244 | 7 | 3,8 |
| 9×9×9 | 729 | 301 | 13 | 3,7 |
| 10×10×10 | 1000 | 364 | 7 | 3,6 |
Deux tendances ressortent. D'abord, le nombre de lignes croît à peu près comme le carré de n, tandis que le nombre de cases croît comme son cube : les grands plateaux ont bien plus de lignes, mais chaque case compte moins. Ensuite, plateaux pairs et impairs se comportent différemment — c'est la conclusion la plus pratique de cet article.
Les plateaux impairs ont une case reine
Sur 3×3×3, 5×5×5, 7×7×7 et 9×9×9, il existe une seule case centrale. Elle se trouve sur 13 lignes : une dans chacune des 13 directions possibles du cube (3 droites, 6 diagonales de face, 4 diagonales spatiales). Aucune autre case n'en approche. Sur les plateaux impairs, prendre le centre tôt est presque toujours juste ; si votre adversaire l'a pris, préparez-vous à défendre.
Les plateaux pairs partagent le pouvoir
Sur les plateaux pairs, pas de centre. Prenons le 4×4×4 : sur ses 64 cases, exactement 16 sont sur 7 lignes et les 48 autres sur 4 seulement. Les 16 cases fortes sont les 8 coins et les 8 cases du petit cube 2×2×2 au milieu. Toutes sont sur des diagonales spatiales, d'où leurs lignes supplémentaires. Voilà pourquoi l'ouverture en 4×4×4 tourne autour des coins et du cube intérieur, et pourquoi les quatre grandes diagonales décident si souvent des parties.
Qu'en faire
- En début de partie, privilégiez les cases sur beaucoup de lignes. Sur les plateaux impairs, le centre ; sur les pairs, les coins et le cube intérieur.
- Sur les grands plateaux, pensez local. Avec 3 à 4 lignes par case en moyenne, une pièce isolée fait peu. Les menaces naissent de groupes de pièces qui partagent des lignes.
- Comptez aussi les lignes de l'adversaire. Une case forte pour vous l'est souvent aussi pour lui. Parfois, le meilleur coup consiste simplement à prendre la case dont il a besoin.
Essayez sur XO3D : choisissez 4×4×4, jouez les premiers coups uniquement sur les 16 cases fortes, puis comparez avec une partie où vous les ignorez. Pour aller plus loin, voyez le guide de stratégie et les problèmes « gagner en deux coups » .