Jeder Strategietipp für 3D-Tic-Tac-Toe läuft am Ende auf eine Frage hinaus: Wie viele Gewinnlinien gibt es, und welche Felder liegen auf den meisten davon? Dieser Artikel zählt für jede Brettgröße von 3×3×3 bis 10×10×10 nach und erklärt, was die Zahlen für dein Spiel bedeuten.
Die Formel
Auf einem n×n×n-Würfel ist eine Gewinnlinie eine gerade Reihe aus n Feldern. Die Anzahl solcher Linien beträgt
((n + 2)³ − n³) / 2
Warum, sieht man mit einem schönen Trick. Umgib den Würfel auf allen Seiten mit einer zusätzlichen Schicht von Feldern, sodass ein (n+2)×(n+2)×(n+2)-Würfel entsteht. Jede Gewinnlinie, an beiden Enden um einen Schritt verlängert, verlässt den ursprünglichen Würfel durch genau zwei der neuen Randfelder. Umgekehrt ist jedes Randfeld der Anfang genau einer solchen verlängerten Linie. Die Linien teilen die (n+2)³ − n³ Randfelder also in Paare auf, zwei Felder pro Linie.
Die Zahlen für jedes Brett
| Brett | Felder | Gewinnlinien | Max. Linien durch ein Feld | Durchschnitt pro Feld |
|---|---|---|---|---|
| 3×3×3 | 27 | 49 | 13 | 5,4 |
| 4×4×4 | 64 | 76 | 7 | 4,8 |
| 5×5×5 | 125 | 109 | 13 | 4,4 |
| 6×6×6 | 216 | 148 | 7 | 4,1 |
| 7×7×7 | 343 | 193 | 13 | 3,9 |
| 8×8×8 | 512 | 244 | 7 | 3,8 |
| 9×9×9 | 729 | 301 | 13 | 3,7 |
| 10×10×10 | 1000 | 364 | 7 | 3,6 |
Zwei Muster fallen auf. Erstens wächst die Zahl der Linien ungefähr mit dem Quadrat von n, die Zahl der Felder dagegen mit der dritten Potenz. Große Bretter haben insgesamt viel mehr Linien, aber jedes einzelne Feld zählt weniger. Zweitens verhalten sich ungerade und gerade Bretter unterschiedlich — das ist die praktischste Erkenntnis dieses Artikels.
Ungerade Bretter haben ein Königsfeld
Auf 3×3×3, 5×5×5, 7×7×7 und 9×9×9 gibt es ein einziges Mittelfeld. Es liegt auf 13 Linien: einer in jeder der 13 möglichen Richtungen im Würfel (3 gerade, 6 Flächendiagonalen, 4 Raumdiagonalen). Kein anderes Feld kommt dem nahe. Auf ungeraden Brettern ist es fast immer richtig, die Mitte früh zu nehmen — und wenn dein Gegner sie hat, musst du dich auf Verteidigung einstellen.
Gerade Bretter verteilen die Macht
Auf geraden Brettern gibt es keine Mitte. Nimm 4×4×4: Von den 64 Feldern liegen genau 16 auf 7 Linien, die übrigen 48 nur auf 4. Die 16 starken Felder sind die 8 Ecken und die 8 Felder des kleinen 2×2×2-Würfels in der Mitte. Alle liegen auf Raumdiagonalen, daher die zusätzlichen Linien. Deshalb dreht sich die Eröffnung auf 4×4×4 um Ecken und den inneren Würfel, und deshalb werden Partien so oft auf den vier großen Diagonalen entschieden.
Was du damit anfangen kannst
- Bevorzuge früh Felder auf vielen Linien. Auf ungeraden Brettern ist das die Mitte, auf geraden die Ecken und der innere Würfel.
- Denke auf großen Brettern lokal. Bei durchschnittlich 3–4 Linien pro Feld bewirkt ein einzelner Stein allein wenig. Drohungen entstehen durch Gruppen von Steinen mit gemeinsamen Linien.
- Zähle auch die Linien des Gegners. Ein starkes Feld für dich ist meist auch für ihn stark. Manchmal ist der beste Zug einfach, das Feld zu besetzen, das er braucht.
Probiere es selbst auf XO3D aus: Wähle 4×4×4 und setze die ersten Züge nur auf die 16 starken Felder; vergleiche das dann mit einer Partie, in der du sie ignorierst. Mehr dazu im Strategie-Ratgeber und in den Aufgaben „Sieg in zwei Zügen“ .